Aljabar Linear Contoh

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

Langkah 1

Kurangkan $3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Langkah 2

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik $(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ dan bidang $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan $t$ .

4. Menggunakan nilai dari $t$ , selesaikan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ untuk $t$ untuk menentukan perpotongan $(x, y, z)$ .

Langkah 3

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

(Variabel0) adalah $y - 3 x = 2$ . Cari vektor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Langkah 3.2

(Variabel0) adalah $x - 4 y = 9$ . Cari vektor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Langkah 3.3

Hitung hasil perkalian titik dari $n_{1}$ dan $n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai $x$ , $y$ , dan $z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kurangi $4$ dengan $- 3$ .

$- 7 + 0$

Langkah 3.4.3.2

Tambahkan $- 7$ dan $0$ .

$- 7$

Langkah 4

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ menggunakan titik asal $(0, 0, 0)$ untuk titik $(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal $- 7$ untuk nilai-nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 5

Substitusikan pernyataan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ ke dalam persamaan untuk $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan suku balikan dalam $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kurangi $3 \cdot t$ dengan $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Langkah 6.1.1.2

Tambahkan $0$ dan $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Langkah 6.1.2

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Langkah 6.1.3

Kurangi $4 t$ dengan $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $- 7 t = 9$ dengan $- 7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $- 7 t = 9$ dengan $- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah $t$ dengan $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{9}{7}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan parametrik untuk $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan nilai dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Kalikan $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Langkah 7.1.3.1.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Langkah 7.1.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Langkah 7.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $- \frac{9}{7}$ dengan $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Langkah 7.2.3.2

Kurangi $\frac{9}{7}$ dengan $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Kalikan $0 (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Langkah 7.3.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 7.3.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$z = 0$

Langkah 7.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Langkah 8

Menggunakan nilai yang dihitung untuk $x$ , $y$ , dan $z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$