Aljabar Linear Contoh

$y = 3 x + 2$ ,

$x - 4 y = 9$

Langkah 1

Kurangkan

$3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Langkah 2

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik

$(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ dan bidang

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ , dan

$z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan

$t$ .

4. Menggunakan nilai dari

$t$ , selesaikan persamaan parametrik

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ , dan

$z = r + c t$ untuk

$t$ untuk menentukan perpotongan

$(x, y, z)$ .

Langkah 3

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

(Variabel0) adalah

$y - 3 x = 2$ . Cari vektor normal

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Langkah 3.2

(Variabel0) adalah

$x - 4 y = 9$ . Cari vektor normal

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Langkah 3.3

Hitung hasil perkalian titik dari

$n_{1}$ dan

$n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan

$- 3$ dengan

$1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan

$0$ dengan

$0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kurangi

$4$ dengan

$- 3$ .

$- 7 + 0$

Langkah 3.4.3.2

Tambahkan

$- 7$ dan

$0$ .

$- 7$

Langkah 4

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ , dan

$z = r + c t$ menggunakan titik asal

$(0, 0, 0)$ untuk titik

$(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal

$- 7$ untuk nilai-nilai

$a$ ,

$b$ , dan

$c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan

$P_{1}$

$y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 5

Substitusikan pernyataan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ ke dalam persamaan untuk

$P_{2}$

$x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan suku balikan dalam

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kurangi

$3 \cdot t$ dengan

$0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Langkah 6.1.1.2

Tambahkan

$0$ dan

$1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Langkah 6.1.2

Kalikan

$t$ dengan

$1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Langkah 6.1.3

Kurangi

$4 t$ dengan

$- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada

$- 7 t = 9$ dengan

$- 7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di

$- 7 t = 9$ dengan

$- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$- 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah

$t$ dengan

$1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$t = - \frac{9}{7}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan parametrik untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ menggunakan nilai dari

$t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Selesaikan persamaan untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Kalikan

$- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Langkah 7.1.3.1.2

Gabungkan

$3$ dan

$\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Langkah 7.1.3.1.3

Kalikan

$3$ dengan

$9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Langkah 7.1.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan

$- \frac{9}{7}$ dengan

$1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Langkah 7.2.3.2

Kurangi

$\frac{9}{7}$ dengan

$0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan untuk

$z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Langkah 7.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Kalikan

$0 (- \frac{9}{7})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Langkah 7.3.3.1.2

Kalikan

$0$ dengan

$\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 7.3.3.2

Tambahkan

$0$ dan

$0$ .

$z = 0$

Langkah 7.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Langkah 8

Menggunakan nilai yang dihitung untuk

$x$ ,

$y$ , dan

$z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$